BFS训练题

拯救公主

公主被恶人抓走，被关押在牢房的某个地方。牢房用 $ N \times M (N, M \le 200)N×M(N,M\le200) $ 的矩阵来表示。矩阵中的每项可以代表道路（@）、墙壁（#）、和守卫（x）。

英勇的骑士（r）决定孤身一人去拯救公主（a）。我们假设拯救成功的表示是 “骑士到达了公主所在的位置”。由于在通往公主所在位置的道路中可能遇到守卫，骑士一旦遇到守卫，必须杀死守卫才能继续前进。

现假设骑士可以向上、下、左、右四个方向移动，每移动一个位置需要 11 个单位时间，杀死一个守卫需要花费额外的 11 个单位时间。同时假设骑士足够强壮，有能力杀死所有的守卫。

给定牢房矩阵，公主、骑士和守卫在矩阵中的位置，请你计算拯救行动成功需要花费最短时间。

输入格式

1、两个整数代表 $N$ 和 $M, (N, M \le 200)M,(N,M\le200)$.
2、随后 $N$ 行，每行有 $M$ 个字符。”@” 代表道路，”a” 代表公主，”r” 代表骑士，”x” 代表守卫, “#” 代表墙壁。

输出格式

如果拯救行动成功，输出一个整数，表示行动的最短时间。
如果不可能成功，输出 “Impossible”。

输入样例1

7 8
#@#####@
#@a#@@r@
#@@#x@@@
@@#@@#@#
#@@@##@@
@#@@@@@@
@@@@@@@@

输出样例1

13

输入样例2

13 40
@x@@##x@#x@x#xxxx##@#x@x@@#x#@#x#@@x@#@x
xx###x@x#@@##xx@@@#@x@@#x@xxx@@#x@#x@@x@
#@x#@x#x#@@##@@x#@xx#xxx@@x##@@@#@x@@x@x
@##x@@@x#xx#@@#xxxx#@@x@x@#@x@@@x@#@#x@#
@#xxxxx##@@x##x@xxx@@#x@x####@@@x#x##@#@
#xxx#@#x##xxxx@@#xx@@@x@xxx#@#xxx@x#####
#x@xxxx#@x@@@@##@x#xx#xxx@#xx#@#####x#@x
xx##@#@x##x##x#@x#@a#xx@##@#@##xx@#@@x@x
x#x#@x@#x#@##@xrx@x#xxxx@##x##xx#@#x@xx@
#x@@#@###x##x@x#@@#@@x@x@@xx@@@@##@@x@@x
x#xx@x###@xxx#@#x#@@###@#@##@x#@x@#@@#@@
#@#x@x#x#x###@x@@xxx####x@x##@x####xx#@x
#x#@x#x######@@#x@#xxxx#xx@@@#xx#x#####@

输出样例

7

ans

//ac
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

char maze[205][205];
bool vis[205][205];
int dir[4][2] = {{-1, 0}, {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}};
int n, m;

struct node {
    int x;
    int y;
    int d;
    node(int xx, int yy, int dd) : x(xx), y(yy), d(dd) {}
    friend bool operator < (node a, node b) {
        return a.d > b.d;
    }
};

int bfs(int x, int y) {
    priority_queue<node> q;
    vis[x][y] = true;
    q.push(node(x, y, 0));

    while(!q.empty()) {
        node now = q.top();
        q.pop();

        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            int tx = now.x + dir[i][0];
            int ty = now.y + dir[i][1];

            if (0 > tx || tx >= n || 0 > ty || ty >= m || maze[tx][ty] == '#' || vis[tx][ty])
            continue;

            if (maze[tx][ty] == 'a') {
                return now.d + 1;
            }
            else if (maze[tx][ty] == 'x') {
                vis[tx][ty] = true;
                q.push(node(tx, ty, now.d + 2));
            }
            else{
                vis[tx][ty] = true;
                q.push(node(tx, ty, now.d + 1));
            }

        }
    }

    return -1;
}

int main(){
    freopen("note.txt", "r", stdin);
    freopen("ans.txt", "w", stdout);

    int i, j;
    int ans = -1;

    cin >> n >> m;
    for (i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> maze[i];
    }

    for (i = 0; i < n; ++i) {
        for (j = 0; j < m; ++j) {
            if (maze[i][j] == 'r'){
                break;
            }
        }
        if (maze[i][j] == 'r') break;
    }

    ans = bfs(i, j);

    if (ans == -1) {
        cout << "Impossible" << endl;
    }
    else{
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

反思

  这个题目的棋盘范围超过了100也就是说使用dfs算法是非常危险的方法，因为dfs的时间复杂度为 $O(2^n)$ 而bfs的时间复杂度为$O(M*N)$所以使用dfs是会为超时的。

  所以弃用dfs是必须的，一般再求最少问题时一般都是采用dfs算法使用。但是我们注意这个棋盘的范围超过了100。对于bfs来说
空间复杂度问题就显现的比较明显。如果采用一般的队列方式来存储帮助bfs的实现，时肯定不行的。此时就要记住。一般这种情况下求极值问题要求优化，我们就采用用优先队列的方法。来进行优化。其实质上对空间复杂度的优化就是对时间复杂度的优化。要不断使用最优秀的数据结构来解决时间于内存上的算法优化问题。

To be continue